0! এর মান কীভাবে এক হয়?

কে. এম. শরীয়াত উল্লাহ

অনেকেই জিজ্ঞেস করে শুন্য ফ্যাক্টরিয়ালের মান এক কীভাবে? আমরা তিনভাবে এর মান ব্যাখ্যা করব।

একটুখানি গণিত

আমরা একটু প্যাটার্ন দেখি।

 1! = 1 \\ 2! = 2 \\ 3! = 6 \\ 4! = 24 \\ 5! = 120 

একটু উলটা নজর দাও। 120 কে 5 দিয়ে ভাগ করলে আগেরটার ফ্যাক্টরিয়াল আসে। আবার 24 কে 4 দিয়ে ভাগ করলে আগেরটার ফ্যাক্টরিয়াল আসে। মানে কোনো একটা ফ্যাক্টরিয়ালের মানকে ওই সংখ্যাটা দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল আগের ফ্যাক্টরিয়ালের মানের সমান। তাহলে আমরা যদি 1 (ফ্যাক্টরিয়ালের মান) কে 1 (ফ্যাক্টরিয়ালের সংখ্যা) দিয়ে ভাগ করি তাহলে নিশ্চয়ই আগের ফ্যাক্টরিয়াল তথা শুন্য ফ্যাক্টরিয়ালের মান আসবে। মানে,

0! = \frac{1}{1} = 1

এজন্য শুন্য ফ্যাক্টরিয়ালের মান এক।

একটুখানি চিন্তা

ফ্যাক্টরিয়াল মানে সাজানো। একটি বস্তুকে একয়াবে সাজানো যায় A । দুইটি বস্তুকে দুইভাবে সাজানো যায় AB \to BA । তিনটি বস্তুকে ছয়ভাবে সাজানো যায় ABC \to ACB \to BAC \to BCA \to CAB \to CBA । এভাবে শূন্যটি বস্তুকে কয়ভাবে সাজানো যাবে? উত্তর হচ্ছে একভাবে। ‘শুন্য’বস্তু একটি অস্তিত্বশীল বস্তু। শুন্যের অস্ত্বিত্ব রয়েছে। এই অস্তিত্ব বুঝা যায় এর ফ্যাক্টরিয়ালের মান এক হওয়া থেকে।

অনেকখানি গণিত

আমরা গামা ফাংশন নামে একটা বস্তুর সাথে পরিচিত হব।

\Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} e^{-t}t^{z-1}dt

এখানে t হচ্ছে ডামি ভ্যারিয়েবল। এখানে আরেকটা রিলেশন জানতে হবে।

\Gamma (z+1) = z!

তাহলে আমরা যদি 0! এর মান বের করতে চাই তাহলে z=0 বা, \Gamma(0+1) = \Gamma(1) এর মান বের করাই যথেষ্ট হবে।

\Gamma(1) = \int_{0}^{\infty} e^{-t}t^{1-1}dt \\ \Rightarrow \Gamma(1) = \int_{0}^{\infty} e^{-t}dt
\\ \Rightarrow \Gamma(1) = \left[ -\frac{1}{e^t} \right]_0^\infty = -\frac{1}{e^\infty} + \frac{1}{e^0} =0+1 \\ \Rightarrow\Gamma(1) = 1 \\ \Rightarrow 0! = 1